El estudio presenta los sub-grupos del Grupo de Galois y los sub-campos del campo de descomposición; existe una dualidad que es expresada en el teorema fundamental de la teoría de Galois, parte central de esta investigación, donde las aplicaciones se pueden ver en la solubilidad por radicales de polinomios de grado n=5. De igual forma, en la no solubilidad por radicales del polinomio general de grado n ³ 5, (Teorema de Abel-Ruffini).

El estudio concluye según los especialistas del álgebra moderna, colocan la teoría de Galois posterior al análisis de la teoría de anillos, teoría de cuerpo y espacios vectoriales, con el propósito de usarla para facilitar las demostraciones de los teoremas de dicha teoría. Estos teoremas están fundamentados en la teoría de Campo.

La utilidad del Teorema fundamental de la teoría de Galois no queda solo en demostrar la no solubilidad por radicales del polinomio de grado n ³ 5, éste se utiliza también como propiedad para hacer justificaciones en otras teorías del álgebra moderna.

Algunas de las aplicaciones que tiene el Teorema fundamental de la Teoría de Galois son:

1- La demostración del Teorema de Abel-Ruffini, el cual demuestra la no solubilidad por radicales de los polinomios de grado n ³ 5, utilizando las funciones simétricas de n variables.

2- Las teorías como, Teoría de Kummer, Extensiones de Kummer de Cuerpos. Éstos son, extensiones generadas al adjuntar una raíz n-ésima a un cuerpo que ya contiene una raíz de la unidad n-ésima primitiva. Ésta es una extensión significativa de la Teoría de extensiones cuadráticas, y la Teoría predecesora de las formas cuadráticas.

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