El axioma de separación llamado Hausdorff (en honor al matemático alemán Félix Hausdorff, 1868-1942) surge como una condicionante que evitará topologías en las que los conjuntos unipuntuales no son cerrados, llevando la clase de espacio bajo consideración más cerca de aquellas a los que se les aplica la intuición geométrica. La función continua es un concepto básico en matemática. Las funciones continuas sobre la recta real, en el plano, el espacio y demás se consideran como casos particulares y especiales de la definición de continuidad topológica y ésta es equivalente a la definición del análisis.

El objetivo del estudio fue visualizar el comportamiento de la función continua en los espacios topológicos que cumplen determinados axiomas de separación. 

Se obtuvieron las siguientes conclusiones:

El criterio de espacio completamente regular parte la definición de un espacio Tychonoff. Un espacio de Tychonoff (o espacio T 3½) es un espacio T1 completamente regular.

El espacio de Tychonoff  se destaca por presentar convenientes aplicaciones reales, no constantes suficientes para separar puntos de conjuntos cerrados. En consecuencia, existen aplicaciones continuas no constantes de todo espacio de Tychonoff (que tenga más de un punto) en R1 teniendo la distinción de ser el espacio topológico más general en el que se puede garantizar tal propiedad.

La importancia más significativa de asegurar que en ciertos espacios topológicos puedan definirse funciones continuas no constantes, es garantizar, preservar y rigurizar las teorías y los teoremas del análisis funcional sobre variables reales del cálculo tradicional, viniendo estos conceptos topológicos a producir una generalización del cálculo tradicional conocido.